Eventos e variáveis aleatórias (espaços finitos)

Vamos definir alguns conceitos…

Seja \(S\) um conjunto finito. Uma medida de probabilidade sobre \(S\) é uma função \(\mu\colon 2^S\to[0,1]\) que satisfaz as seguintes condições

• para todo subconjunto \(A\subseteq S\), temos \(0\leq\mu(A)\leq 1\);
• se \(A\) e \(B\) são subconjuntos disjuntos de \(S\), então \(\mu(A \cup B) = \mu(A) +\mu(B)\);
• \(\mu(S)=1\).

Vamos chamar \(S\) de espaço amostral, ou espaço de probabilidade (deixando \(\mu\) subentendido). Um evento é qualquer subconjunto de \(S\). Assim, se nosso espaço consiste dos possíveis números obtidos ao lançar um dado comum, exemplos de eventos são "tirar 6" ou "tirar um número ímpar".

Note que \(\mu\) nada mais é do que uma atribuição de pesos aos subconjuntos de \(S\), normalizados no intervalo \([0,1]\). Uma maneira de interpretar \(\mu\) é como a "representatividade" dos eventos. Quanto maior o valor de \(\mu(A)\), mais "típicos" são os elementos de \(A\).

Variáveis aleatórias

A probabilidade de um evento está longe de ser a única coisa estudada em probabilidade. Por exemplo, podemos nos perguntar qual o "comportamento típico" de alguma característica dos pontos do espaço de probabilidade. Para isso, é interessante introduzir valores para os diferentes pontos de \(S\).

Uma variável aleatória é uma função \(X\colon S\to\mathbb{R}\) que leva subconjuntos de \(S\) em números reais. Note que usando variáveis aleatórias, temos um meio de formular diversas questões interessantes. Qual o valor mais comum da variável aleatória? Qual a probabilidade de \(X\) encontrar-se em um dado intervalo? Que valores são improváveis? E assim por diante.

Notação — conjuntos

Notação é coisa que "vareia". Não encontrei modo simples de acrescentar uma página estática no blog, para falar de notação, sem com isso perder o MathJax que nos dá essas belas equações. Então simplesmente recortei o texto que ia por lá e estou jogando aqui (leia-se: espere revisões e mais revisões deste post).

Conjuntos

Acredito que boa parte da notação que usamos aqui seja largamente adotada. Em geral letras maiúsculas \(A,B,C,\ldots\) denotam conjuntos, \(|A|\) para denotar a cardinalidade de \(A\). Usamos \(2^A\) para o conjunto das partes de \(A\) (isto é, a família de todos os subconjuntos de \(A\)), e \(\binom{A}{k}\) para a família de subconjuntos de \(A\) com exatamente \(k\) elementos \(\binom{A}{k}=\{ a\subset A\colon |a|=k\}\). Para um número natural \(n\), escrevemos \([n]=\{1,2,\ldots,n\}\).

Contagem, probabilidade

Probabilidade e contagem aparecem juntos com frequência em matemática discreta.

Por exemplo, imagine que temos um conjunto de objetos \(A\), e que alguns deles têm certa propriedade. Vamos dizer um objeto é bom se tem a propriedade e ruim caso contrário.

Uma maneira de demonstrar a existência de objetos bons é construir um (claro!). Se isso for difícil, podemos abordar o problema indiretamente. Se conhecemos o tamanho \(|A|\) de \(A\) ou se conseguimos limitar \[\frac{\text{# objetos ruins}}{|A|}<1,\] então sabemos que existem objetos bons!

De modo geral, seja \(R\subseteq A\) o conjunto dos objetos ruins. Se encontramos uma cobertura de \(R\) por subconjuntos  \(R_i\subseteq R\), para \(i\in\{1,\ldots,n\}\) (isto é,  \(\bigcup_i R_i \supseteq R\)), tal que \(\sum_i |R_i|<|A|\), então certamente existe \(B=A \setminus \bigcup_i R_i\) que é não-vazio: esse é um conjunto de elementos bons.