Exercício de probabilidade

O problema

Sejam \(a,b\in]0,1[\) dois números reais entre zero e um. Queremos construir uma moeda que dê cara com probabilidade \(p\) proporcional a \(a\) e coroa com probabilidade proporcional a \(b\). Quanto vale \(p\)?

Solução

Queremos \(p=ac_1\) e \(1-p=bc_2\), onde \(c_1\) e \(c_2\) são constantes positivas que usamos para definir a “proporção”. Dividindo as expressões, obtemos \[\frac{p}{1-p} = \frac{ac_1}{bc_2}\implies p =\frac{ac_1}{ac_1+bc_2}.\]